Δευτέρα, 10 Αυγούστου 2020 18:10

Μαθηματική προσέγγιση παιγνίων

Γράφτηκε από την
Μαθηματική προσέγγιση παιγνίων

Του Πέτρου Σακκά

Η δημόσια συζήτηση στη χώρα μας κατακλύζεται συχνά από αναφορές αιτιάσεις και ενίοτε έντονες επικρίσεις αναφορικά με τα τυχερά παίγνια.

Τα περισσότερα άτομα έχουμε την άποψή μας για την προσέγγιση των παιγνίων. Η μαθηματική όμως προσέγγιση,την οποία θα αναλύσουμε με απλότητα και σαφήνεια, αποτελείται από τρία βασικά βήματα τα οποία μας βοηθούν να σκεφτόμαστε πιο συγκεκριμένα και να λαμβάνουμε τις αποφάσεις μας με περισσότερη σιγουριά.

1ο ΒΗΜΑ.

Στα παίγνια υφίσταται η αναλογία Risk to Reward Ratio. Βρίσκει εφαρμογή σε χρηματικά παραδείγματα και εκφράζεται μαθηματικά Risk:Reward (ρίσκο:ανταμοιβή). Από τη στιγμή που ρισκάρω ένα δικό μου ποσό για να κερδίσω το ποσό κάποιου άλλου στο μέρος Risk της αναλογίας τοποθετείται το δικό μου ποσό και στο μέρος του Reward το ποσό που διεκδικώ. Για παράδειγμα αν ποντάρω 2€ για να κερδίσω 8€ τότε η αναλογία διαμορφώνεται 2€:8€ και σημαίνει ότι από το συνολικό ποσό των 10€ που διαμορφώθηκε πλέον,τα 2€ αναλογούν σε μένα και τα 8€ στο ποσό που διεκδικώ. Με ενδιαφέρει την αναλογία να την μετατρέψω σε ποσοστό επί τοις εκατό (%) το οποίο το πετυχαίνω με τον εξής τρόπο.

 

Aντικαθιστώντας στην αναλογία το παραπάνω αριθμητικό παράδειγμα και προχωρώντας σε αριθμητικές πράξεις βρίσκουμε το αποτέλεσμα

 

 

Βρήκαμε συνεπώς το ποσοστό συμμετοχής μας στο συνολικό χρηματικό ποσό και μπορούμε να συνεχίσουμε στο επόμενο βήμα.

2ο ΒΗΜΑ

Υπολογίζω την πιθανότητα που έχω να κερδίσω σε κάποιο παίγνιο και την οποία μετατρέπω επίσης σε ποσοστό επί τοις εκατό(%). Για παράδειγμα σε ένα τυχερό παίγνιο με περιεχόμενο τη ρίψη ενός νομίσματος με δύο διαφορετικές πλευρές, κορώνα και γράμματα,όπου νικητήρια ρίψη είναι το ενδεχόμενο να φέρω κορώνα και χαμένη το ενδεχόμενο να φέρω γράμματα η πιθανότητα να κερδίσω είναι μία στις δύο, δηλαδή

 

Έχοντας υπολογίσει το ποσοστό των χρημάτων που μου αναλογεί από το πρώτο βήμα και την πιθανότητα που έχω να κερδίσω από το δεύτερο βήμα, προκειμένου να δω αν με συμφέρει να συμμετάσχω σε ένα παίγνιο μπορώ απλά να συγκρίνω τα δύο αυτά ποσοστά. Αν η εκφρασμένη επί τοις εκατό πιθανότητα να κερδίσω είναι μεγαλύτερη από το χρηματικό ποσοστό συμμετοχής μου τότε το παίγνιο είναι κερδοφόρο.

Λείπει όμως ένα πολύ σημαντικό μέγεθος. Ναι μεν είναι κερδοφόρο το παίγνιο άλλα τι ποσό αναμένω να κερδίσω; Την απάντηση μας τη δίνει η εξίσωση της αναμενόμενης απόδοσης.

3ο ΒΗΜΑ

Η συσχέτιση του χρηματικού ποσού συμμετοχής ως προς το συνολικό χρηματικό ποσό (1ο βήμα) με την πιθανότητα νίκης ύστερα από τη ρίψη του κέρματος (2ο βήμα) βρίσκουν εφαρμογή στην μαθηματική εξίσωση της αναμενόμενης απόδοσης η οποία και συμβολίζεται με τα αρχικά EV(Expected Value). Η εν λόγω εξίσωση μας δίνει το τελικό ποσό που αναμένω να κερδίσω και ισούται με:

 

 

Για να είναι ένα παίγνιο κερδοφόρο βάσει της EV εξίσωσης θα πρέπει το αποτέλεσμα να είναι μεγαλύτερο του μηδενός.

Πλέον γνωρίζοντας ποια βήματα πρέπει να ακολουθήσουμε μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα ολοκληρωμένο παράδειγμα παιγνίου.

ΠΑΙΓΝΙΟ

Έστω ότι για τη ρίψη ενός κέρματος με δυο πλευρές, κορώνα και γράμματα,μας προσφέρουν 8€ αν φέρουμε κορώνα και χάνουμε 2€ αν φέρουμε γράμματα. Υπό την προϋπόθεση ότι μπορώ να πραγματοποιήσω τη ρίψη όσες φορές θέλω με συμφέρει να δεχτώ το παίγνιο;

ΛΥΣΗ

Χρησιμοποιώντας την εξίσωση

 

και αντικαθιστώντας σε αυτή τα στοιχεία του παιγνίου η εξίσωση γίνεται

 

 

Άρα η αναμενόμενη απόδοση (EV) είναι ίση με 3€, μεγαλύτερη του μηδενός συνεπώς με συμφέρει να δεχτώ το παίγνιο. Αλλά η αναμενόμενη απόδοση (EV) σημαίνει και κάτι ακόμα. Σημαίνει ότι αναμένω να κερδίζω 3€ ανά ρίψη. Ποιο συγκεκριμένα, ρίχνοντας το νόμισμα διαδοχικές φορές αναμένω μακροπρόθεσμα να κερδίζω 4€ όταν θα φέρνω κορώνα [(χρηματικό ποσό που θα κερδίσω)(πιθανότητα να κερδίσω)] και να χάνω 1€ όταν φέρνω γράμματα [(χρηματικό ποσό που θα χάσω)×(πιθανότητα να χάσω)].

 

 


NEWSLETTER